Matemática · Ensino Médio · Matrizes e Sistemas Lineares

Matrizes e Sistemas

A população de cada região do país em três censos, a energia de cada prato de um cardápio e as coordenadas de uma figura que gira na tela do computador cabem, todas, num retângulo de números. Chamamos esse retângulo de matriz, e as contas com ele seguem regras que o significado dos dados ajuda a entender. As mesmas regras resolvem várias equações ao mesmo tempo, os sistemas lineares, e a geometria mostra por que um sistema pode ter uma solução, nenhuma ou infinitas.

1Tabelas e matrizes
2Produto de matrizes
3Matrizes que mexem no plano
4Produto e composição
5Inversa e determinante
6Sistemas 2 × 2
7Escalonamento
8Três planos
✓Desafios

PASSO 1

Quando uma tabela vira uma matriz?

Uma matriz é uma tabela de números arrumados em linhas e colunas, escrita entre colchetes. Uma matriz com $m$ linhas e $n$ colunas tem ordem $m \times n$, e o número que fica na linha $i$ e na coluna $j$ é o elemento $a_{ij}$, sempre com o índice da linha na frente.

A bancada traz a população residente das cinco Grandes Regiões do Brasil nos Censos de 2000, 2010 e 2022, segundo o IBGE. Cada linha é uma região e cada coluna é um censo, e a tabela vira a matriz $P$, de ordem 5 × 3. O elemento $p_{23}$ é a população do Nordeste em 2022, 54.658.515 pessoas. Os nomes das linhas e das colunas ficam fora dos colchetes, e quem lê a matriz precisa saber o que cada posição guarda.

Trocando as linhas pelas colunas obtemos a transposta $P^t$, de ordem 3 × 5. Duas matrizes de mesma ordem se somam e se subtraem elemento a elemento, e multiplicar uma matriz por um número multiplica cada elemento por ele. A coluna de 2022 menos a coluna de 2010 dá uma matriz 5 × 1 com o crescimento de cada região em doze anos, e multiplicar $P$ por $10^{-6}$ dá a mesma tabela em milhões de habitantes, que é a forma como a bancada a mostra.

$A = [a_{ij}]_{m \times n}$$(A \pm B)_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij}$$(kA)_{ij} = k\,a_{ij}$$(A^t)_{ij} = a_{ji}$A soma só existe entre matrizes de mesma ordem. Uma matriz com tantas linhas quanto colunas é quadrada, e a identidade $I$ é a matriz quadrada com 1 na diagonal principal e 0 em todas as outras posições.

Para conversar

Toque na célula do Sudeste em 2000. Que nome tem esse elemento, $p_{ij}$ com que $i$ e que $j$? Passe para a transposta e veja onde ele foi parar.
Some de cabeça a coluna de 2022, com os valores em milhões. O resultado bate com a população do Brasil naquele censo, que a bancada mostra embaixo?
Escolha a variação de 2010 a 2022. Que região ganhou mais habitantes? E qual cresceu mais em proporção ao que já tinha?
Compare as linhas do Nordeste e do Sul nos três censos. Qual das duas regiões cresceu mais depressa entre 2000 e 2010? E entre 2010 e 2022?

Ordem

Elemento escolhido

O que ele guarda

Brasil no censo

Exercícios do passo 1 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Qual é a ordem de $A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & 7 \end{bmatrix}$, e quanto valem $a_{12}$, $a_{23}$ e $a_{21}$?

Ver resolução
A matriz tem 2 linhas e 3 colunas.
$a_{12}$ está na linha 1 e na coluna 2, $a_{23}$ na linha 2 e na coluna 3, e $a_{21}$ na linha 2 e na coluna 1.
Ordem 2 × 3, com $a_{12} = -1$, $a_{23} = 7$ e $a_{21} = 2$.
básico
Escreva a matriz $A = [a_{ij}]_{2 \times 3}$ em que $a_{ij} = 2i - j$.

Ver resolução
Na linha 1, $2 - 1 = 1$, $2 - 2 = 0$ e $2 - 3 = -1$.
Na linha 2, $4 - 1 = 3$, $4 - 2 = 2$ e $4 - 3 = 1$.
$A$ $= \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$
básico
Com $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ e $B = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$, calcule $A + B$ e $3A - B$.

Ver resolução
A soma é feita posição a posição, $A + B$ $= \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ -1 & 5 \end{bmatrix}$.
$3A$ $= \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ 0 & 9 \end{bmatrix}$, e tirando $B$ posição a posição, $3A - B$ $= \begin{bmatrix} -1 & -7 \\ 1 & 7 \end{bmatrix}$.
$A + B$ $= \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ -1 & 5 \end{bmatrix}$ e $3A - B$ $= \begin{bmatrix} -1 & -7 \\ 1 & 7 \end{bmatrix}$
básico
Qual é a transposta de $\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$, e qual é a ordem dela?

Ver resolução
A primeira coluna, 1, 2, 3, vira a primeira linha, e a segunda coluna, 4, 5, 6, vira a segunda linha.
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$, de ordem 2 × 3.
médio
Segundo o IBGE, o Centro-Oeste tinha 14.058.094 habitantes em 2010 e 16.289.538 em 2022. Que elemento da matriz $D = C_3 - C_2$ da bancada corresponde a essa região, quanto ele vale e de quantos por cento foi o crescimento?

Ver resolução
O Centro-Oeste é a quinta linha, e $D$ tem uma coluna só. O elemento é $d_{51}$.
$d_{51}$ $= 16.289.538 - 14.058.094$ $= 2.231.444$.
Em proporção, $2.231.444 / 14.058.094 \approx 0{,}159$.
$d_{51} = 2.231.444$, um crescimento de cerca de 15,9%, o maior entre as cinco regiões.
médio
Encontre a matriz $X$ tal que $2X + A = B$, com $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}$ e $B = \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 4 & 6 \end{bmatrix}$.

Ver resolução
Isolamos $X$ como numa equação de números, $2X = B - A$.
$B - A$ $= \begin{bmatrix} 4 & -4 \\ 6 & 6 \end{bmatrix}$, e dividimos cada elemento por 2.
$X$ $= \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}$
médio
Uma matriz quadrada é simétrica quando $A^t = A$. Para que valores de $x$ e $y$ a matriz $\begin{bmatrix} 1 & x + 1 & 3 \\ 4 & 0 & y \\ 3 & -2 & 5 \end{bmatrix}$ é simétrica?

Ver resolução
A transposta troca $a_{ij}$ com $a_{ji}$, e a matriz é simétrica quando os elementos espelhados na diagonal principal são iguais.
$a_{13} = a_{31} = 3$ já está certo. Falta $a_{12} = a_{21}$, isto é, $x + 1 = 4$, e $a_{23} = a_{32}$, isto é, $y = -2$.
$x = 3$ e $y = -2$.
médio
Para que valores de $a$ e $b$ vale $\begin{bmatrix} a + b & 3 \\ 1 & a - b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$?

Ver resolução
Duas matrizes são iguais quando têm a mesma ordem e os mesmos elementos nas mesmas posições. Isso dá $a + b = 7$ e $a - b = 1$.
Somando as duas equações, $2a = 8$, e $a = 4$. Daí $b = 3$.
$a = 4$ e $b = 3$. As duas equações formam um sistema, o assunto dos passos 6 a 8.
desafio
Numa matriz $A = [a_{ij}]_{4 \times 4}$, todos os elementos com $i > j$ valem zero. Quantos elementos são obrigatoriamente nulos, quantos podem ser diferentes de zero, e que nome tem uma matriz assim?

Ver resolução
As posições com $i > j$ ficam abaixo da diagonal principal. Na linha 2 há uma, na linha 3 há duas e na linha 4 há três, $1 + 2 + 3 = 6$.
Sobram $16 - 6 = 10$ posições, a diagonal e tudo o que fica acima dela.
6 elementos nulos e 10 livres. É uma matriz triangular superior, e o passo 7 chega a ela de propósito, porque um sistema nessa forma se resolve de baixo para cima.
desafio
Com os dados da bancada, calcule de quantos por cento cresceu a população do Brasil de 2000 a 2010 e de 2010 a 2022. Mostre que a soma das variações das cinco regiões é a variação do país e explique por que isso vale para qualquer tabela.

Ver resolução
De 2000 a 2010, $190.755.799$ $- 169.872.856$ $= 20.882.943$, cerca de 12,3% de 169.872.856.
De 2010 a 2022, $203.080.756$ $- 190.755.799$ $= 12.324.957$, cerca de 6,5% de 190.755.799, num intervalo de doze anos.
As variações das regiões de 2010 a 2022 são 1.490.430, 1.576.565, 4.475.703, 2.550.815 e 2.231.444, e somam 12.324.957.
A soma de uma coluna de diferenças é a diferença das somas das colunas, porque $(a_1 - b_1) + \dots + (a_5 - b_5)$ $= (a_1 + \dots + a_5) - (b_1 + \dots + b_5)$.
12,3% e 6,5%. O total do país é a soma das regiões em cada censo, e por isso a variação do total é a soma das variações. As taxas em porcentagem não têm essa propriedade, e a taxa do país fica entre a menor e a maior taxa regional.

PASSO 2

Como se multiplica uma matriz por outra?

O produto de matrizes junta linhas com colunas. Para obter o elemento $c_{ij}$ de $C = AB$, percorremos ao mesmo tempo a linha $i$ de $A$ e a coluna $j$ de $B$, multiplicamos os números que se correspondem e somamos os resultados. A conta só fecha quando a linha de $A$ e a coluna de $B$ têm o mesmo tamanho, isto é, quando $A$ tem tantas colunas quanto $B$ tem linhas.

Um cardápio mostra de onde vem essa regra. A matriz $Q$ guarda quantas porções de 100 g de cada alimento entram no almoço e no jantar, e a matriz $N$, tirada da Tabela Brasileira de Composição de Alimentos (TACO), da Unicamp, guarda a energia, a proteína e o carboidrato de 100 g de cada alimento. A energia do almoço é a porção de arroz vezes a energia do arroz, mais a porção de feijão vezes a energia do feijão, e assim por diante. Essa é exatamente a conta da linha do almoço com a coluna da energia.

Com $Q$ de ordem 2 × 4 e $N$ de ordem 4 × 3, o produto $QN$ tem ordem 2 × 3, uma linha por refeição e uma coluna por nutriente. Na outra ordem, $NQ$ nem existe, porque $N$ tem 3 colunas e $Q$ tem 2 linhas. Mesmo entre matrizes quadradas, em que as duas ordens existem, $AB$ e $BA$ costumam ser diferentes, e o passo 4 mostra o que essa diferença quer dizer.

$A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = C_{m \times p}$$c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j}$$+ \dots + a_{in}b_{nj}$O $n$ do meio precisa ser o mesmo nas duas matrizes, e as ordens de fora dão a ordem do produto. A identidade não muda nada, $AI = IA = A$.

Para conversar

Toque na célula da proteína do almoço. Que linha de $Q$ e que coluna de $N$ se acendem, e quanto cada alimento põe no total?
No almoço, leve o frango a zero. Quanto da proteína vinha dele, e que alimento passa a dar mais proteína?
Monte um jantar de cerca de 600 kcal só com arroz e feijão. Há uma resposta só?
A bancada não calcula $NQ$. Que ordem uma matriz precisaria ter para multiplicar $N$ pela direita?

Arroz

Feijão

Frango

Banana

Energia do dia

NQ existe?

Ordens

Célula escolhida

Exercícios do passo 2 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Calcule $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}$.

Ver resolução
Linha 1 com coluna 1, $1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 4$. Linha 1 com coluna 2, $1 \cdot 0 + 2 \cdot 5 = 10$.
Linha 2 com coluna 1, $3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 10$. Linha 2 com coluna 2, $3 \cdot 0 + 4 \cdot 5 = 20$.
$\begin{bmatrix} 4 & 10 \\ 10 & 20 \end{bmatrix}$
básico
$A$ tem ordem 3 × 2 e $B$ tem ordem 2 × 4. Os produtos $AB$ e $BA$ existem? Qual é a ordem de cada um que existir?

Ver resolução
Em $AB$, $A$ tem 2 colunas e $B$ tem 2 linhas, e o produto existe, com a ordem de fora, 3 × 4.
Em $BA$, $B$ tem 4 colunas e $A$ tem 3 linhas, e a conta não fecha.
$AB$ existe e tem ordem 3 × 4. $BA$ não existe.
básico
Calcule $\begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{bmatrix}$. Qual é a ordem do resultado?

Ver resolução
Uma linha com três números vezes uma coluna com três números dá uma soma de três produtos.
$2 \cdot 4 + (-1) \cdot 5 + 3 \cdot 1$ $= 8 - 5 + 3$ $= 6$.
$[6]$, uma matriz 1 × 1. Na ordem inversa, a coluna vezes a linha daria uma matriz 3 × 3.
básico
Um prato tem 200 g de arroz e 150 g de feijão. Com os números da TACO na bancada, quantas quilocalorias ele tem? Escreva a conta como o produto de uma matriz linha por uma matriz coluna.

Ver resolução
Em porções de 100 g, o prato tem 2 de arroz e 1,5 de feijão, e 100 g de cada um têm 128 e 76 kcal.
$\begin{bmatrix} 2 & 1{,}5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 128 \\ 76 \end{bmatrix}$ $= 2 \cdot 128 + 1{,}5 \cdot 76$ $= 256 + 114$ $= 370$
370 kcal.
médio
Com $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, calcule $A^2$ e $A^3$ e descubra $A^n$.

Ver resolução
$A^2$ $= AA$ $= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ e $A^3$ $= A^2 A$ $= \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
A cada multiplicação por $A$, o elemento de cima à direita ganha 1 e os outros ficam iguais.
$A^n$ $= \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$. No passo 3 essa matriz é um cisalhamento, e aplicá-lo $n$ vezes inclina a malha $n$ vezes mais.
médio
Com $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ e $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$, calcule $AB$ e $BA$. O que $B$ faz com $A$ em cada caso?

Ver resolução
$AB$ $= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$ e $BA$ $= \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
Pela direita, $B$ troca as colunas de $A$. Pela esquerda, troca as linhas.
$AB \ne BA$. A troca de linhas pela esquerda é a mesma operação que o escalonamento do passo 7 usa.
médio
Com $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ e $B = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$, calcule $AB$. Que surpresa esse resultado traz para quem está acostumado com números?

Ver resolução
Cada linha de $A$ com cada coluna de $B$ dá $1 - 1 = 0$, ou $-1 + 1 = 0$.
$AB$ é a matriz nula, e nenhuma das duas é nula. Com números, $ab = 0$ obriga $a = 0$ ou $b = 0$, e com matrizes isso deixa de valer.
médio
Uma lanchonete, num exemplo inventado, vende sanduíche a R$ 12, suco a R$ 7 e salada a R$ 15. Na segunda-feira vendeu 30 sanduíches, 25 sucos e 10 saladas, e na terça, 20, 30 e 15. Monte as matrizes e calcule a receita de cada dia com um produto.

Ver resolução
As vendas formam $V$ $= \begin{bmatrix} 30 & 25 & 10 \\ 20 & 30 & 15 \end{bmatrix}$, uma linha por dia, e os preços formam a coluna $p = \begin{bmatrix} 12 \\ 7 \\ 15 \end{bmatrix}$.
Segunda, $30 \cdot 12 + 25 \cdot 7 + 10 \cdot 15$ $= 360 + 175 + 150$ $= 685$.
Terça, $20 \cdot 12 + 30 \cdot 7 + 15 \cdot 15$ $= 240 + 210 + 225$ $= 675$.
$Vp = \begin{bmatrix} 685 \\ 675 \end{bmatrix}$, R$ 685 na segunda e R$ 675 na terça.
desafio
Encontre todas as matrizes $X = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ que comutam com $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, isto é, com $AX = XA$.

Ver resolução
$AX$ $= \begin{bmatrix} a + c & b + d \\ c & d \end{bmatrix}$ e $XA$ $= \begin{bmatrix} a & a + b \\ c & c + d \end{bmatrix}$.
Comparando posição a posição, $a + c = a$ dá $c = 0$, $b + d = a + b$ dá $d = a$, e $d = c + d$ repete $c = 0$.
$X$ $= \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & a \end{bmatrix}$, com $a$ e $b$ quaisquer.
desafio
Com $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$, calcule $A^2$, $A^3$ e $A^4$. Que sequência aparece, e por quê?

Ver resolução
$A^2$ $= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$, $A^3$ $= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ e $A^4$ $= \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$.
Multiplicar $\begin{bmatrix} u & v \\ v & w \end{bmatrix}$ por $A$ dá $\begin{bmatrix} v & u + v \\ w & v + w \end{bmatrix}$, e cada número novo é a soma dos dois anteriores.
Aparecem 1, 1, 2, 3, 5, a sequência de Fibonacci, com $A^n$ $= \begin{bmatrix} F_{n-1} & F_n \\ F_n & F_{n+1} \end{bmatrix}$.

PASSO 3

O que uma matriz 2 × 2 faz com o plano?

Escrevendo o ponto $(x, y)$ como uma coluna, o produto $A\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ dá outro ponto, e uma matriz 2 × 2 leva cada ponto do plano a um ponto novo. Essas transformações se chamam lineares, porque levam retas em retas e deixam a origem no lugar.

Toda a informação está nas colunas. A primeira coluna de $A$ é a imagem de $(1, 0)$, e a segunda é a imagem de $(0, 1)$. Como $(x, y) = x\,(1, 0) + y\,(0, 1)$, a imagem de um ponto qualquer é $x$ vezes a primeira coluna mais $y$ vezes a segunda, e a malha quadriculada vira uma malha de paralelogramos. Na bancada, arrastar as pontas das duas colunas define a transformação inteira.

O quadrado de lado 1 com um vértice na origem vira o paralelogramo formado pelas duas colunas, de área $|ad - bc|$. O número $ad - bc$, com sinal, é o determinante de $A$, e toda figura tem a área multiplicada por $|\det A|$. O sinal conta se a figura foi espelhada, e com det zero o plano inteiro se achata numa reta ou num ponto. As rotações e as reflexões das isometrias têm det 1 e −1, e a homotetia de razão $k$ tem det $k^2$.

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix}$$\det A = ad - bc$A área de qualquer figura transformada é a área original vezes $|\det A|$. Com $\det A < 0$ a orientação se inverte, e o que estava no sentido anti-horário passa ao horário.

Para conversar

Escolha a rotação de 90° e leia as duas colunas. Para onde foram $(1, 0)$ e $(0, 1)$? Que matriz giraria o plano 180°?
Parta da identidade e arraste a primeira coluna até $(2, 0)$. O que acontece com a área do F? E se a segunda coluna for também até $(0, 2)$?
Arraste a segunda coluna devagar por cima da primeira, até o F aparecer espelhado. Em que momento o det passou por zero, e o que a malha fazia nesse instante?
No cisalhamento, a malha se inclina e o quadrado vira um paralelogramo. Por que a área continua igual a 1?

Matriz

det A

Área da imagem do quadrado

Orientação

Exercícios do passo 3 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Qual é a imagem do ponto $(2, -1)$ pela matriz $\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$?

Ver resolução
$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix} 3 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) \\ 0 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) \end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix} 5 \\ -2 \end{bmatrix}$
$(5, -2)$
básico
Calcule o determinante de $\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$ e o de $\begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$. Qual das duas achata o plano?

Ver resolução
$4 \cdot 5 - 3 \cdot 2 = 14$ e $2 \cdot 3 - 6 \cdot 1 = 0$.
Na segunda, a coluna $(6, 3)$ é o triplo da coluna $(2, 1)$, e as duas ficam na mesma reta.
14 e 0. A segunda achata o plano sobre a reta $y = x/2$.
básico
Escreva a matriz que leva $(1, 0)$ em $(3, 1)$ e $(0, 1)$ em $(-1, 2)$.

Ver resolução
As imagens de $(1, 0)$ e de $(0, 1)$ são as colunas da matriz, na ordem.
$\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$
básico
Um triângulo de área 5 é transformado pela matriz $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$. Qual é a área da imagem?

Ver resolução
$\det = 2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1) = 7$, e toda área fica multiplicada por 7.
$5 \cdot 7 = 35$.
médio
Escreva a matriz da rotação de 180° em torno da origem e a da reflexão na reta $y = x$, e calcule o determinante de cada uma.

Ver resolução
Girando 180°, $(1, 0)$ vai a $(-1, 0)$ e $(0, 1)$ vai a $(0, -1)$, o que dá $\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$, com det 1.
A reflexão em $y = x$ troca as coordenadas, $(1, 0)$ vai a $(0, 1)$ e $(0, 1)$ vai a $(1, 0)$, o que dá $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$, com det $-1$.
Det 1 para a rotação, que mantém a orientação, e $-1$ para a reflexão, que a inverte.
médio
Para que valores de $k$ a matriz $\begin{bmatrix} k & 2 \\ 3 & k - 1 \end{bmatrix}$ achata o plano?

Ver resolução
A matriz achata o plano quando o det é zero, $k(k - 1) - 6 = 0$, isto é, $k^2 - k - 6 = 0$.
As raízes são $k = 3$ e $k = -2$.
$k = 3$ ou $k = -2$. Com $k = 3$ as colunas são $(3, 3)$ e $(2, 2)$, na mesma reta.
médio
A matriz $\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ transforma a circunferência de raio 1 com centro na origem em que figura? Qual é a área da região que ela cerca?

Ver resolução
Cada ponto $(x, y)$ vai a $(2x, 3y)$. O círculo é esticado 2 vezes na horizontal e 3 vezes na vertical e vira uma elipse com semieixos 2 e 3.
O det é 6, e a área $\pi$ do círculo fica multiplicada por 6.
Uma elipse, com área $6\pi$. As áreas se multiplicam pelo det mesmo em figuras curvas.
médio
O quadrado de vértices $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(1, 1)$ e $(0, 1)$ é transformado por $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$. Quais são os vértices da imagem, qual é a área e a orientação foi mantida?

Ver resolução
$(1, 0)$ vai à primeira coluna, $(1, 3)$, e $(0, 1)$ vai à segunda, $(2, 4)$. O vértice $(1, 1)$ vai à soma das duas, $(3, 7)$.
$\det = 4 - 6 = -2$.
Vértices $(0, 0)$, $(1, 3)$, $(3, 7)$ e $(2, 4)$, área 2, e a orientação se inverteu porque o det é negativo.
desafio
Mostre que uma matriz cujas colunas são perpendiculares e têm comprimento 1 tem det igual a 1 ou a $-1$.

Ver resolução
Com colunas $(a, c)$ e $(b, d)$, as hipóteses dizem $a^2 + c^2 = 1$, $b^2 + d^2 = 1$ e $ab + cd = 0$.
Somando $(ad - bc)^2$ $= a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2$ com $(ab + cd)^2$ $= a^2b^2 + 2abcd + c^2d^2$, os termos com $abcd$ se cancelam e sobra $(a^2 + c^2)(b^2 + d^2) = 1$.
Como $ab + cd = 0$, temos $(ad - bc)^2 = 1$.
$\det = \pm 1$. As isometrias que fixam a origem são as rotações, com det 1, e as reflexões, com det $-1$.
desafio
Escreva a matriz da rotação de 45° em torno da origem e mostre que aplicá-la duas vezes dá a rotação de 90° da bancada.

Ver resolução
Girando 45°, $(1, 0)$ vai a $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ e $(0, 1)$ vai a $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, e $R$ $= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$R^2$ $= \dfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 - 1 & -1 - 1 \\ 1 + 1 & -1 + 1 \end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
$R^2$ é a rotação de 90°. Em geral, a rotação de um ângulo $\theta$ tem colunas $(\cos\theta, \operatorname{sen}\theta)$ e $(-\operatorname{sen}\theta, \cos\theta)$.

PASSO 4

Multiplicar matrizes é fazer uma transformação depois da outra?

Aplicar $B$ a um ponto e depois aplicar $A$ ao resultado dá $A(Bv)$. Pela forma como o produto foi definido, essa conta coincide com $(AB)v$, e a matriz $AB$ faz de uma vez o que as duas fazem em sequência. O produto de matrizes é a composição da aula de Funções escrita como tabela, e a leitura também é de dentro para fora, porque em $AB$ a matriz da direita age primeiro.

A composição costuma depender da ordem, e o produto também. Girar 90° e depois refletir no eixo $x$ leva o F a um lugar, e refletir primeiro e girar depois o leva a outro. A homotetia comuta com todas as outras transformações, porque só muda o tamanho e trata todas as direções do mesmo jeito.

Os determinantes se multiplicam, $\det(AB) = \det A \cdot \det B$. A primeira transformação multiplica as áreas por $|\det B|$, a segunda multiplica o resultado por $|\det A|$, e os sinais se combinam como numa multiplicação comum. Duas reflexões seguidas, por isso, devolvem a orientação original.

$(AB)\,v = A\,(B\,v)$$AB \ne BA$ em geral$\det(AB) = \det A \cdot \det B$Em $AB$, $B$ age primeiro. O produto é associativo, $(AB)C = A(BC)$, e por isso podemos encadear quantas transformações quisermos sem parênteses.

Para conversar

Com A a rotação de 90° e B a reflexão no eixo $x$, o F cheio e o F cinza da ordem trocada ficam em lugares diferentes. Os dois aparecem espelhados?
Escolha a homotetia de razão 2 para uma das matrizes e troque a outra à vontade. Por que a ordem deixa de importar?
Escolha a mesma transformação para A e para B. O que fazem duas rotações de 90° seguidas? E dois cisalhamentos?
Compare $\det A \cdot \det B$ com $\det(AB)$ em várias escolhas. Em que casos o F termina espelhado?

Primeiro B, depois A

Ordem trocada

AB = BA?

det A · det B = det AB

Exercícios do passo 4 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Com $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ e $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$, calcule $AB$ e diga o que a transformação composta faz.

Ver resolução
$AB$ $= \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$.
B estica 3 vezes na vertical, e A estica 2 vezes na horizontal.
A composta multiplica as abscissas por 2 e as ordenadas por 3, e as áreas por 6. Aqui $AB = BA$, porque cada matriz mexe numa direção só.
básico
Com $R = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$, a rotação de 90°, calcule $R^2$. Que transformação é essa?

Ver resolução
Linha 1 de $R$ com as colunas de $R$, $0 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = -1$ e $0 \cdot (-1) + (-1) \cdot 0 = 0$.
Linha 2 com as colunas, $1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$ e $1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = -1$.
$R^2 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$
A rotação de 180°, que leva cada ponto $(x, y)$ a $(-x, -y)$. Duas rotações de 90° somam 180°.
básico
Sabendo que $\det A = 3$ e $\det B = -2$, calcule $\det(AB)$, $\det(BA)$ e $\det(A^2)$.

Ver resolução
$\det(AB) = 3 \cdot (-2) = -6$, e $\det(BA) = (-2) \cdot 3 = -6$, mesmo quando $AB \ne BA$.
$\det(A^2) = 3 \cdot 3 = 9$.
$-6$, $-6$ e 9.
básico
$S = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ é a reflexão no eixo $x$. Calcule $S^2$ e explique o resultado.

Ver resolução
$S^2$ $= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ $= I$.
Refletir duas vezes no mesmo espelho devolve cada ponto ao lugar, e $S^2 = I$.
médio
Com $R$ a rotação de 90° e $S$ a reflexão no eixo $x$, calcule $RS$ e $SR$ e diga que transformação cada uma faz.

Ver resolução
$RS$ $= \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$, que troca $x$ com $y$.
$SR$ $= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$, que leva $(x, y)$ a $(-y, -x)$.
$RS$ é a reflexão na reta $y = x$, e $SR$ é a reflexão na reta $y = -x$. As duas têm det $-1$, e as duas espelham o F, cada uma num espelho diferente.
médio
Mostre que o cisalhamento $C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ comuta com $H = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ e não comuta com $D = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

Ver resolução
$CH$ $= HC$ $= \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$, porque $H = 2I$ e multiplicar por $2I$ é o mesmo que multiplicar por 2.
$CD$ $= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ e $DC$ $= \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$CH = HC$, e $CD \ne DC$. Esticar a horizontal antes ou depois do cisalhamento muda a inclinação final.
médio
Uma transformação $T$ gira o plano 90° e depois dobra todas as distâncias. Escreva a matriz de $T$ e a de $T^2$.

Ver resolução
$T$ $= HR$ $= \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$.
$T^2$ $= \begin{bmatrix} -4 & 0 \\ 0 & -4 \end{bmatrix}$.
$T^2$ gira 180° e multiplica as distâncias por 4, isto é, é a homotetia de razão $-4$.
médio
Se $\det(AB) = 0$, alguma das duas matrizes tem det zero? Explique pelas áreas.

Ver resolução
$\det A \cdot \det B = 0$, e um produto de números só é zero quando um dos fatores é zero.
Pelas áreas, o quadrado só termina com área zero se alguma das duas etapas achatar o plano, porque uma etapa com det diferente de zero leva área positiva em área positiva.
Sim, $\det A = 0$ ou $\det B = 0$.
desafio
Com $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix}$ e $v = (x, y)$, mostre que a primeira coordenada de $A(Bv)$ é igual à de $(AB)v$.

Ver resolução
$Bv = (ex + fy,\ gx + hy)$, e a primeira coordenada de $A(Bv)$ é $a(ex + fy) + b(gx + hy)$.
Agrupando, $(ae + bg)\,x + (af + bh)\,y$.
A primeira linha de $AB$ é $(ae + bg,\ af + bh)$, e vezes $v$ dá a mesma expressão.
As duas coincidem, e a segunda coordenada sai do mesmo jeito. É essa conta que faz o produto linha por coluna ser a composição.
desafio
Encontre uma matriz $A \ne I$ com $A^3 = I$.

Ver resolução
Uma rotação de 120° feita três vezes dá 360°, e volta tudo ao lugar. A matriz é $\begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$, com as colunas $(\cos 120°, \operatorname{sen} 120°)$ e $(-\operatorname{sen} 120°, \cos 120°)$.
Há também uma resposta com inteiros, $A$ $= \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$. Ela dá $A^2$ $= \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ e $A^3$ $= A^2 A$ $= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
A rotação de 120° serve, e a matriz de inteiros também, porque leva $(1, 0)$ a $(0, 1)$, $(0, 1)$ a $(-1, -1)$ e $(-1, -1)$ de volta a $(1, 0)$.

PASSO 5

Quando dá para desfazer uma transformação?

Desfazer uma transformação é achar a matriz $A^{-1}$ que leva cada imagem de volta ao ponto de onde ela saiu, com $A^{-1}A = AA^{-1} = I$. É a ideia da função inversa, e a condição também se repete, porque cada imagem precisa ter vindo de um único ponto.

Uma matriz com det zero achata o plano numa reta, e uma reta inteira de pontos vai parar em cada imagem. Matriz nenhuma consegue decidir de qual desses pontos a imagem veio, e $A$ fica sem inversa. Com $\det A \ne 0$ nada se perde, e a inversa de uma 2 × 2 tem uma fórmula curta. Trocamos de lugar os dois elementos da diagonal principal, trocamos o sinal dos outros dois e dividimos tudo pelo det.

A fórmula também mostra o que acontece perto do achatamento. Com det pequeno, os elementos de $A^{-1}$ ficam grandes, porque a inversa precisa esticar muito para desfazer um achatamento quase completo. Em contas com números aproximados, como as de uma calculadora, esse esticamento tende a ampliar os erros, e matrizes assim pedem cuidado.

$A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$AA^{-1} = A^{-1}A = I$Vale para $ad - bc \ne 0$. O det da inversa é $1/\det A$, e uma matriz com det zero não tem inversa.

Para conversar

Com a matriz inicial, arraste P e leia Q. Aplique a $A^{-1}$ da bancada a Q de cabeça e confira que a conta volta a P.
Mude $c$ até o det chegar a zero. O que acontece com a imagem do plano, e onde estão todos os pontos que caem no mesmo Q?
Deixe o det em 1 ou em −1. Por que, nesses casos, a inversa só tem números inteiros?
Escolha a matriz de det 4 e compare os elementos de $A$ e de $A^{-1}$. Que denominador aparece, e por quê?

Matriz

det A

P → Q

Inversa

Exercícios do passo 5 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Calcule a inversa de $\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}$ e confira o resultado.

Ver resolução
$\det = 6 - 5 = 1$. Trocando a diagonal e o sinal dos outros dois, $A^{-1}$ $= \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}$.
Conferindo, $\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix} 6 - 5 & -3 + 3 \\ 10 - 10 & -5 + 6 \end{bmatrix}$ $= I$.
$\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}$
básico
A matriz $\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}$ tem inversa?

Ver resolução
$\det = 12 - 12 = 0$. A segunda coluna é metade da primeira, e as duas ficam na mesma reta.
Não tem. A matriz achata o plano sobre a reta $y = \frac{3}{2}x$.
básico
Calcule a inversa de $\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$ e descreva o que cada uma das duas matrizes faz.

Ver resolução
$\det = 10$, e $A^{-1}$ $= \dfrac{1}{10}\begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{5} \end{bmatrix}$.
A matriz estica 2 vezes na horizontal e 5 na vertical, e a inversa encolhe as mesmas direções pela metade e para um quinto.
básico
Uma matriz inversível $A$ leva $P = (1, 2)$ em $Q = (4, -1)$. Para onde $A^{-1}$ leva $(4, -1)$?

Ver resolução
De $AP = Q$ vem $A^{-1}Q = A^{-1}AP = IP = P$.
Para $(1, 2)$.
médio
Calcule a inversa de $\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$, uma das matrizes da bancada.

Ver resolução
$\det = 6 - 2 = 4$, e $A^{-1}$ $= \dfrac{1}{4}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$.
$A^{-1}$ $= \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{bmatrix}$
médio
Use a inversa de $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ para achar $X$ com $AX = \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix}$.

Ver resolução
$\det A = 1$ e $A^{-1}$ $= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.
$X$ $= A^{-1}\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix} 5 - 3 \\ -5 + 6 \end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$.
$X = (2, 1)$. A equação matricial é o sistema $2x + y = 5$, $x + y = 3$, o assunto do próximo passo.
médio
Para que valores de $m$ a matriz $\begin{bmatrix} m & 4 \\ 1 & m \end{bmatrix}$ tem inversa?

Ver resolução
A inversa existe quando $\det = m^2 - 4 \ne 0$.
Para todo $m$ diferente de 2 e de $-2$.
médio
Mostre que a inversa da rotação de 90° é a rotação de −90° e que a inversa da reflexão no eixo $x$ é ela mesma.

Ver resolução
Para $R$ $= \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$, com det 1, $R^{-1}$ $= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$, que leva $(1, 0)$ a $(0, -1)$, um giro de 90° no sentido horário.
Para $S$ $= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$, com det $-1$, $S^{-1}$ $= \dfrac{1}{-1}\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ $= S$.
Desfazer um giro é girar de volta, e desfazer um espelhamento é espelhar de novo.
desafio
Mostre que $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ quando $A$ e $B$ são inversíveis, e explique a ordem trocada.

Ver resolução
$(AB)(B^{-1}A^{-1})$ $= A(BB^{-1})A^{-1}$ $= AIA^{-1}$ $= AA^{-1}$ $= I$, e a conta na outra ordem também dá $I$.
Em $AB$, $B$ age primeiro e $A$ depois. Para desfazer, tiramos primeiro o que foi feito por último.
$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$, como quem calça a meia e depois o sapato e, para descalçar, tira o sapato antes.
desafio
Uma matriz 2 × 2 de inteiros tem inversa com todos os elementos inteiros. Que valores o det dela pode ter?

Ver resolução
O det de uma matriz de inteiros é inteiro, e o mesmo vale para a inversa, que também é de inteiros.
$\det A \cdot \det A^{-1}$ $= \det(AA^{-1})$ $= \det I = 1$, e dois inteiros com produto 1 são os dois iguais a 1 ou os dois iguais a $-1$.
Na volta, com $\det A = \pm 1$ a fórmula divide por $\pm 1$ e a inversa sai com inteiros.
$\det A = 1$ ou $\det A = -1$, exatamente os casos da bancada em que a inversa não tem frações.

PASSO 6

O que é resolver duas equações ao mesmo tempo?

Um sistema linear 2 × 2 junta duas equações do primeiro grau em $x$ e $y$, e resolvê-lo é achar os pares que satisfazem as duas ao mesmo tempo. Cada equação $ax + by = e$, com $a$ e $b$ não ambos nulos, tem como gráfico uma reta, e uma solução do sistema é um ponto que está nas duas retas.

Duas retas no plano se cruzam num ponto, são paralelas ou coincidem, e por isso um sistema tem uma solução, nenhuma ou infinitas. Esses casos se chamam sistema possível e determinado (SPD), sistema impossível (SI) e sistema possível e indeterminado (SPI). Comparar duas tarifas, como na aula de Função Afim, é resolver um sistema desses, e o ponto de equilíbrio é o cruzamento das duas retas.

Com matrizes, o sistema vira $A\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e \\ f \end{bmatrix}$, e o passo 5 já diz quando a solução é única. Com $\det A \ne 0$ a matriz tem inversa e há um só par. A regra de Cramer escreve esse par com três determinantes, trocando a coluna de $x$, ou a de $y$, pela coluna dos termos independentes. Com $\det A = 0$ as duas retas têm a mesma inclinação, e só os termos independentes decidem entre nenhuma solução e infinitas.

$\begin{cases} ax + by = e \\ cx + dy = f \end{cases}$$x = \dfrac{ed - bf}{ad - bc}$$y = \dfrac{af - ec}{ad - bc}$Vale para $ad - bc \ne 0$. O numerador de $x$ é o det de $A$ com a primeira coluna trocada por $(e, f)$, e o de $y$ é o det de $A$ com a segunda coluna trocada.

Para conversar

No exemplo de uma solução, leia o ponto de encontro e confira de cabeça que ele satisfaz as duas equações.
Escolha as paralelas e mexa em $f$. Em que valor as duas retas passam a coincidir, e o que acontece com o sistema?
Parta do exemplo de uma solução e leve $d$ devagar até 1. Para onde vai o ponto de encontro enquanto o det se aproxima de zero?
Ponha $a = b = 0$ na primeira equação. Que equação sobra, e por que a bancada deixa de desenhar uma das retas?

a (1ª)

b (1ª)

e (1ª)

c (2ª)

d (2ª)

f (2ª)

Sistema

det A

Classificação

Solução

Exercícios do passo 6 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Resolva o sistema $x + y = 10$, $x - y = 4$.

Ver resolução
Somando as duas equações, $2x = 14$, e $x = 7$.
Da primeira, $y = 10 - 7 = 3$.
$x = 7$ e $y = 3$.
básico
Sem resolver, classifique os sistemas $\{2x + 3y = 6,\ 4x + 6y = 12\}$ e $\{2x + 3y = 6,\ 4x + 6y = 10\}$.

Ver resolução
Nos dois, a segunda equação tem os coeficientes de $x$ e $y$ iguais ao dobro dos da primeira, e o det é $2 \cdot 6 - 3 \cdot 4 = 0$.
No primeiro, o termo independente também dobrou, $12 = 2 \cdot 6$, e as equações descrevem a mesma reta. No segundo, $10 \ne 12$, e as retas são paralelas e distintas.
O primeiro é SPI e o segundo é SI.
básico
Resolva $3x + 2y = 12$, $x - y = -1$ pela regra de Cramer.

Ver resolução
$\det A = 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 1 = -5$.
Trocando a coluna de $x$, $12 \cdot (-1) - 2 \cdot (-1) = -10$, e $x = \frac{-10}{-5} = 2$.
Trocando a coluna de $y$, $3 \cdot (-1) - 12 \cdot 1 = -15$, e $y = \frac{-15}{-5} = 3$.
$x = 2$ e $y = 3$. Conferindo, $6 + 6 = 12$ e $2 - 3 = -1$.
básico
Numa lanchonete, num exemplo inventado, 2 coxinhas e 1 suco custam R$ 17, e 1 coxinha e 2 sucos custam R$ 16. Quanto custa cada um?

Ver resolução
Com $c$ o preço da coxinha e $s$ o do suco, $2c + s = 17$ e $c + 2s = 16$.
Somando, $3c + 3s = 33$, e $c + s = 11$. Tirando isso da primeira equação, $c = 6$, e daí $s = 5$.
A coxinha custa R$ 6 e o suco, R$ 5.
médio
Para que valores de $k$ o sistema $kx + 2y = 4$, $2x + y = 3$ tem uma única solução? O que acontece no valor que fica de fora?

Ver resolução
$\det A = k \cdot 1 - 2 \cdot 2 = k - 4$, e a solução é única quando $k \ne 4$.
Com $k = 4$, a primeira equação vira $4x + 2y = 4$, isto é, $2x + y = 2$, e a segunda diz $2x + y = 3$.
Para $k \ne 4$. Com $k = 4$ as retas são paralelas, e o sistema é impossível.
médio
Num exemplo inventado, um plano de celular cobra R$ 30 mais R$ 0,50 por minuto, e outro cobra R$ 50 mais R$ 0,30 por minuto. Com quantos minutos os dois planos custam o mesmo, e quanto?

Ver resolução
Com $m$ minutos e o preço $p$, o sistema é $p = 30 + 0{,}5m$ e $p = 50 + 0{,}3m$.
Igualando, $0{,}2m = 20$, e $m = 100$. Daí $p = 30 + 50 = 80$.
Com 100 minutos, os dois custam R$ 80. Abaixo disso o primeiro plano sai mais barato, e acima o segundo.
médio
Resolva $x + 3y = 2$, $2x + y = 2$, deixando a resposta em frações.

Ver resolução
$\det A = 1 \cdot 1 - 3 \cdot 2 = -5$.
$x = \dfrac{2 \cdot 1 - 3 \cdot 2}{-5} = \dfrac{-4}{-5} = \dfrac{4}{5}$ e $y = \dfrac{1 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{-5} = \dfrac{-2}{-5} = \dfrac{2}{5}$.
$x = \frac{4}{5}$ e $y = \frac{2}{5}$. Conferindo, $\frac{4}{5} + \frac{6}{5} = 2$ e $\frac{8}{5} + \frac{2}{5} = 2$.
médio
Um laboratório quer 10 L de uma solução com 30% de álcool, misturando uma solução a 20% com outra a 50%. Quantos litros de cada uma entram na mistura?

Ver resolução
Com $x$ litros da solução a 20% e $y$ da solução a 50%, o volume dá $x + y = 10$ e o álcool dá $0{,}2x + 0{,}5y = 3$.
Trocando $y = 10 - x$ na segunda, $0{,}2x + 5 - 0{,}5x = 3$, e $0{,}3x = 2$.
$x = \frac{20}{3} \approx 6{,}67$ L da solução a 20% e $y = \frac{10}{3} \approx 3{,}33$ L da solução a 50%.
desafio
Para que valores de $m$ e $n$ o sistema $mx + 2y = n$, $3x + 6y = 9$ tem infinitas soluções?

Ver resolução
A segunda equação é $x + 2y = 3$, dividida por 3. Para infinitas soluções, as duas equações precisam descrever a mesma reta.
O det, $6m - 6$, precisa ser zero, e $m = 1$. A primeira equação fica $x + 2y = n$, e ela coincide com $x + 2y = 3$ só com $n = 3$.
$m = 1$ e $n = 3$. Com $m = 1$ e $n \ne 3$ o sistema é impossível.
desafio
No sistema $ax + by = e$, $cx + dy = f$, mostre que $(ad - bc)\,x = ed - bf$ e conclua que, com $ad - bc = 0$ e $ed - bf \ne 0$, o sistema não tem solução.

Ver resolução
Multiplicando a primeira equação por $d$ e a segunda por $b$, $adx + bdy = ed$ e $bcx + bdy = bf$.
Subtraindo, o termo em $y$ some e fica $(ad - bc)\,x = ed - bf$, que vale para toda solução.
Com $ad - bc = 0$, o lado esquerdo é zero para qualquer $x$, e uma solução exigiria $ed - bf = 0$.
Se $ed - bf \ne 0$, nenhum par satisfaz as duas equações, e o sistema é impossível. Com $ad - bc \ne 0$, a mesma conta dá a fórmula de Cramer.

PASSO 7

Como resolver três equações com três incógnitas sem se perder?

Com três incógnitas, isolar uma letra e substituir nas outras equações ainda funciona, e as contas se embaralham depressa. O escalonamento, também chamado de eliminação de Gauss, põe ordem no trabalho. Escrevemos só os coeficientes e os termos independentes numa matriz 3 × 4, a matriz aumentada, usamos a primeira linha para zerar o primeiro número das duas de baixo e depois a segunda linha para zerar o segundo número da terceira.

Trocar duas equações de lugar, multiplicar uma equação por um número diferente de zero e somar a uma equação um múltiplo de outra são operações que não mudam as soluções. A bancada escreve a última como $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$, que se lê "a linha 2 passa a ser a linha 2 menos duas vezes a linha 1". No fim, a matriz fica em forma de escada, com zeros abaixo da diagonal, e o sistema se resolve de baixo para cima.

A última linha conta o desfecho. Uma linha $0x + 0y + 0z = -3$ não tem solução, e o sistema é impossível. Uma linha inteira de zeros, $0 = 0$, não diz nada. Se as outras duas linhas têm pivô, como neste caso, sobram duas equações para três incógnitas, com uma variável livre e infinitas soluções. Quando a escada tem três degraus, um pivô diferente de zero em cada linha, a solução é única, e o det da matriz dos coeficientes é o produto dos pivôs, com o sinal trocado a cada troca de linhas.

$L_i \leftarrow L_i - m\,L_j$$m = \dfrac{a_{ik}}{a_{jk}}$O pivô $a_{jk}$ é o primeiro número diferente de zero da linha $L_j$, e $m$ é escolhido para zerar o número $a_{ik}$, embaixo dele. Frações aparecem quando o pivô não divide o número que queremos zerar.

Para conversar

No sistema de uma solução, pause no passo que usa 1/3. Por que essa fração apareceu, e que número a operação zerou?
Na última linha do sistema de uma solução, confira que $-\frac{7}{3}z = -7$ dá $z = 3$, e suba substituindo até chegar a $x$.
No sistema de infinitas soluções, a terceira linha some. Que equação da partida era a soma das outras duas?
Compare os sistemas de infinitas soluções e de nenhuma. Só um número muda na partida. Qual, e por que ele decide tudo?

Passo

Operação

Classificação

Solução

Exercícios do passo 7 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Resolva o sistema já escalonado $x + y + z = 6$, $y + z = 5$, $z = 3$.

Ver resolução
De baixo para cima, $z = 3$, depois $y = 5 - 3 = 2$ e $x = 6 - 2 - 3 = 1$.
$x = 1$, $y = 2$ e $z = 3$.
básico
Escreva a matriz aumentada do sistema $x + 2y - z = 3$, $2x - y + 3z = 1$, $x + z = 4$.

Ver resolução
Cada linha guarda os coeficientes de $x$, $y$ e $z$, e depois do traço o termo independente. Na terceira equação, o coeficiente de $y$ é zero.
$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right]$
básico
Na matriz aumentada com primeira linha $[2\ \ 1\ \ 1 \mid 5]$ e segunda linha $[6\ \ 4\ \ 1 \mid 9]$, que operação zera o primeiro número da segunda linha, e como ela fica?

Ver resolução
O pivô é 2 e o número a zerar é 6, e $m = 6/2 = 3$.
$L_2 - 3L_1$ $= [6 - 6\ \ \ 4 - 3\ \ \ 1 - 3 \mid 9 - 15]$.
$L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1$, e a linha fica $[0\ \ 1\ \ {-2} \mid -6]$.
básico
Escalonando um sistema 3 × 3, chegamos à linha $[0\ \ 0\ \ 0 \mid 5]$. O que isso diz sobre o sistema?

Ver resolução
A linha corresponde à equação $0x + 0y + 0z = 5$, isto é, $0 = 5$, que nenhum terno satisfaz.
O sistema é impossível.
médio
Resolva por escalonamento $x + y + z = 6$, $x + 2y + 2z = 9$, $2x + y + 3z = 13$.

Ver resolução
$L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ dá $[0\ \ 1\ \ 1 \mid 3]$, e $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1$ dá $[0\ \ {-1}\ \ 1 \mid 1]$.
$L_3 \leftarrow L_3 + L_2$ dá $[0\ \ 0\ \ 2 \mid 4]$, e $z = 2$.
Subindo, $y = 3 - 2 = 1$ e $x = 6 - 1 - 2 = 3$.
$x = 3$, $y = 1$ e $z = 2$.
médio
Escalone $x + y - z = 1$, $2x + y + z = 4$, $3x + 2y = 5$ e escreva a solução geral.

Ver resolução
$L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ dá $[0\ \ {-1}\ \ 3 \mid 2]$, e $L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1$ dá $[0\ \ {-1}\ \ 3 \mid 2]$.
$L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ zera a terceira linha inteira, e $z$ fica livre. Com $z = t$, $-y + 3t = 2$ dá $y = 3t - 2$, e $x = 1 - y + z = 3 - 2t$.
SPI, com $(x, y, z) = (3 - 2t,\ 3t - 2,\ t)$ para todo $t$ real. A terceira equação era a soma das duas primeiras.
médio
Numa papelaria, num exemplo inventado, uma caneta, um lápis e uma borracha custam juntos R$ 10. Duas canetas e um lápis custam R$ 12, e uma caneta e duas borrachas custam R$ 11. Qual é o preço de cada item?

Ver resolução
Com $c$, $l$ e $b$, o sistema é $c + l + b = 10$, $2c + l = 12$ e $c + 2b = 11$.
$L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ dá $-l - 2b = -8$, e $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ dá $-l + b = 1$.
Subtraindo a segunda nova da terceira, $3b = 9$, e $b = 3$. Daí $l = b - 1 = 2$ e $c = 10 - 2 - 3 = 5$.
A caneta custa R$ 5, o lápis R$ 2 e a borracha R$ 3.
médio
Para que valor de $k$ o sistema $x + y + z = 1$, $x - y + z = 3$, $2x + 2z = k$ tem solução? Ela é única?

Ver resolução
Somando as duas primeiras equações, $2x + 2z = 4$. A terceira tem os mesmos coeficientes e pede $2x + 2z = k$.
Com $k \ne 4$, ela contradiz as outras duas, e com $k = 4$ ela repete o que as outras já dizem.
Só com $k = 4$, e mesmo assim as soluções são infinitas. O det dos coeficientes é zero para qualquer $k$, e o sistema nunca é SPD.
desafio
Para que valores de $a$ o sistema $x + y + z = 0$, $x + 2y + 3z = 0$, $x + 3y + az = 0$ tem só a solução $(0, 0, 0)$?

Ver resolução
$L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ dá $[0\ \ 1\ \ 2 \mid 0]$, e $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ dá $[0\ \ 2\ \ a - 1 \mid 0]$.
$L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2$ dá $[0\ \ 0\ \ a - 5 \mid 0]$.
Com $a \ne 5$ há três pivôs, e a única solução é a nula. Com $a = 5$ a terceira linha some, e $z$ fica livre.
Para $a \ne 5$. Um sistema com todos os termos independentes nulos nunca é impossível, porque $(0, 0, 0)$ sempre serve.
desafio
Mostre que a operação $L_2 \leftarrow L_2 - mL_1$ não muda as soluções do sistema.

Ver resolução
Escreva as equações como $L_1 = 0$ e $L_2 = 0$, com tudo passado para o lado esquerdo. Um terno que zera $L_1$ e $L_2$ também zera $L_2 - mL_1$, porque $0 - m \cdot 0 = 0$.
Na volta, um terno que zera $L_1$ e $L_2 - mL_1$ zera $L_2 = (L_2 - mL_1) + mL_1$.
Os dois sistemas têm exatamente as mesmas soluções. A operação pode ser desfeita, com $L_2 \leftarrow L_2 + mL_1$, e por isso nada se perde nem se ganha.

PASSO 8

Como três planos se encontram no espaço?

Uma equação $ax + by + cz = d$, com $a$, $b$ e $c$ não todos nulos, descreve um plano no espaço, e o vetor $(a, b, c)$ é perpendicular a ele. Um sistema 3 × 3 junta três planos, e as soluções são os pontos que estão nos três ao mesmo tempo.

Os casos são mais variados que os das retas. Três planos podem se cruzar num único ponto, como no canto de uma sala, onde duas paredes encontram o chão (SPD). Podem passar os três por uma mesma reta, como as páginas de um livro aberto em torno da lombada (SPI). E podem não ter ponto comum nenhum, seja porque dois deles são paralelos, seja porque se cortam dois a dois em três retas paralelas e formam um prisma (SI).

O determinante da matriz dos coeficientes separa o primeiro caso dos outros. Com det diferente de zero, os três vetores perpendiculares apontam em direções independentes e há exatamente um ponto comum. Com det zero, os três vetores ficam num mesmo plano, e o escalonamento do passo 7 decide entre uma reta de soluções e nenhuma. Os três planos podem até coincidir, e então a solução é o plano inteiro.

$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}$$\det = a_1b_2c_3 + b_1c_2a_3 + c_1a_2b_3$$-\,c_1b_2a_3 - a_1c_2b_3 - b_1a_2c_3$É a regra de Sarrus para a matriz dos coeficientes. Com det ≠ 0 o sistema é SPD, e com det = 0 ele é SPI ou SI, e só o escalonamento diz qual.

Para conversar

No sistema de um ponto, gire a vista até enxergar bem o encontro. Que ponto é esse, e o que cada par de planos tem em comum?
Escolha o livro aberto e esconda um dos planos. O que os outros dois têm em comum? Quando o terceiro volta, o que muda?
No prisma, cada par de planos se cruza numa reta. Por que essas três retas nunca se encontram?
Com os planos paralelos, que equações dizem que dois deles nunca se tocam? Olhe para os coeficientes de $x$, $y$ e $z$.

Girar a vista

Sistema

det

Em comum aos três

Classificação

Exercícios do passo 8 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
O ponto $(1, 2, 3)$ está no plano $2x - y + z = 3$?

Ver resolução
$2 \cdot 1 - 2 + 3 = 3$, e a equação se cumpre.
Sim. É o ponto comum aos três planos do primeiro sistema da bancada.
básico
Os planos $x + 2y - z = 4$ e $2x + 4y - 2z = 5$ se cortam?

Ver resolução
Os coeficientes do segundo são o dobro dos do primeiro, e os dois planos são paralelos.
Dobrando a primeira equação, $2x + 4y - 2z = 8$, e $8 \ne 5$.
Não se cortam. São paralelos e distintos.
básico
Calcule pela regra de Sarrus o det de $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.

Ver resolução
Diagonais descendo, $1 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 \cdot 2 + 0 \cdot 0 \cdot 0 = 13$.
Diagonais subindo, $0 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 \cdot 1 = 0$.
$\det = 13 - 0 = 13$.
básico
Que planos o sistema $x = 1$, $y = 2$, $z = 3$ descreve, e onde eles se encontram?

Ver resolução
$x = 1$ é o plano paralelo ao plano $yz$ que passa por $x = 1$, e os outros dois são paralelos aos planos $xz$ e $xy$.
A matriz dos coeficientes é a identidade, com det 1.
Três planos perpendiculares entre si, como o chão e duas paredes de uma sala, que se encontram no ponto $(1, 2, 3)$.
médio
No livro aberto da bancada, os planos são $x + y + z = 6$, $x - y + 2z = 5$ e $2x + 3z = 11$. Calcule o det dos coeficientes e explique o resultado sem a conta.

Ver resolução
$1 \cdot (-1) \cdot 3$ $+ 1 \cdot 2 \cdot 2$ $+ 1 \cdot 1 \cdot 0$ $- 1 \cdot (-1) \cdot 2$ $- 1 \cdot 2 \cdot 0$ $- 1 \cdot 1 \cdot 3$ $= -3 + 4 + 0 + 2 - 0 - 3$ $= 0$.
A terceira linha de coeficientes, $(2, 0, 3)$, é a soma das duas primeiras, e um det com uma linha que é soma de outras duas vale zero.
$\det = 0$. A terceira equação é a soma das duas primeiras, e o plano dela passa pela reta comum às outras duas.
médio
Classifique o sistema $x + y + z = 6$, $x + y + z = 3$, $x - y + 2z = 5$ e descreva a figura que os planos formam.

Ver resolução
As duas primeiras equações têm os mesmos coeficientes e termos independentes diferentes, e $x + y + z$ não pode valer 6 e 3 ao mesmo tempo.
O terceiro plano não é paralelo aos outros e corta cada um deles numa reta, e as duas retas são paralelas.
SI. Dois planos paralelos atravessados por um terceiro, que deixa neles duas retas paralelas.
médio
Encontre a reta comum aos planos $x + y + z = 6$ e $x - y + 2z = 5$.

Ver resolução
Com $z = t$, as equações viram $x + y = 6 - t$ e $x - y = 5 - 2t$.
Somando, $2x = 11 - 3t$, e subtraindo, $2y = 1 + t$.
$(x, y, z)$ $= \left(\frac{11 - 3t}{2},\ \frac{1 + t}{2},\ t\right)$. Com $t = 3$ sai o ponto $(1, 2, 3)$.
médio
Para que valor de $k$ o plano $2x + 3z = k$ contém a reta do exercício anterior? O que acontece com os outros valores de $k$?

Ver resolução
Nos pontos da reta, $2x + 3z = (11 - 3t) + 3t = 11$, qualquer que seja $t$.
Com $k = 11$ o plano contém a reta inteira. Com $k \ne 11$ nenhum ponto da reta está no plano, e o plano é paralelo a ela.
$k = 11$ dá o livro aberto, SPI. Qualquer outro $k$, como o 8 da bancada, dá o prisma, SI.
desafio
Um sistema 3 × 3 com det diferente de zero pode ter dois planos paralelos?

Ver resolução
Planos paralelos têm vetores perpendiculares proporcionais, e as duas linhas de coeficientes correspondentes são uma múltipla da outra.
Na regra de Sarrus, uma linha múltipla de outra faz o det dar zero. Com $L_2 = kL_1$, por exemplo, a operação $L_2 \leftarrow L_2 - kL_1$ zera uma linha inteira, e a escada não chega a ter três degraus.
Não. Com det diferente de zero, os três planos se cortam num único ponto, e nenhum par deles é paralelo.
desafio
Escreva um sistema 3 × 3 cujos planos se cortem só no ponto $(1, 1, 1)$, sem que nenhuma equação seja da forma $x = \text{número}$, e outro cujos três planos contenham o eixo $z$.

Ver resolução
Para o primeiro, $x + y = 2$, $y + z = 2$ e $x + z = 2$. Somando as três, $2(x + y + z)$ $= 6$, e $x + y + z = 3$, o que dá $z = 1$, $x = 1$ e $y = 1$. O det é 2.
Para o segundo, os planos precisam conter todos os pontos $(0, 0, t)$, e servem $x = 0$, $y = 0$ e $x + y = 0$. A coluna de $z$ é toda nula, e o det é zero.
$\{x + y = 2,\ y + z = 2,\ x + z = 2\}$, SPD, e $\{x = 0,\ y = 0,\ x + y = 0\}$, SPI, com as soluções $(0, 0, t)$. Há muitas outras respostas.

FECHAMENTO

Desafios

Passos 1 e 2 · Tabela e produto

Suponha que, de 2022 a 2034, cada região cresça na mesma proporção em que cresceu de 2010 a 2022, segundo os censos da bancada do passo 1. Quantos habitantes o Brasil teria em 2034? Escreva a conta como o produto de uma matriz linha por uma matriz coluna e diga o que esse modelo deixa de fora.

Ver resolução

O fator de cada região é $r_i = p_{i3} / p_{i2}$, cerca de 1,094 no Norte, 1,030 no Nordeste, 1,056 no Sudeste, 1,093 no Sul e 1,159 no Centro-Oeste.
A população de 2034 é a linha das populações de 2022 vezes a coluna dos fatores, $\begin{bmatrix} p_{13} & p_{23} & \cdots & p_{53} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} r_1 \\ \vdots \\ r_5 \end{bmatrix}$.
As parcelas são cerca de 18,99, 56,28, 89,57, 32,73 e 18,88 milhões, e a soma dá cerca de 216,4 milhões.
Aplicar a taxa do país inteiro, $203.080.756 / 190.755.799 \approx 1{,}065$, daria cerca de 216,2 milhões, um pouco menos, porque no cálculo por região as regiões que crescem mais depressa pesam mais.
O modelo supõe que nada mude, e os próprios censos mostram o crescimento perdendo força de uma década para a outra, com menos nascimentos e uma população mais velha. A projeção provavelmente exagera.

Passos 2 e 6 · Cardápio e sistema

Com os números da TACO na bancada do passo 2, quantos gramas de arroz e de feijão formam um prato com 500 kcal e 15 g de proteína?

Ver resolução

Com $x$ porções de 100 g de arroz e $y$ de feijão, $128x + 76y = 500$ e $2{,}5x + 4{,}8y = 15$.
$\det$ $= 128 \cdot 4{,}8 - 76 \cdot 2{,}5$ $= 614{,}4 - 190$ $= 424{,}4$.
$x$ $= \dfrac{500 \cdot 4{,}8 - 76 \cdot 15}{424{,}4}$ $= \dfrac{1260}{424{,}4} \approx 2{,}97$ e $y$ $= \dfrac{128 \cdot 15 - 2{,}5 \cdot 500}{424{,}4}$ $= \dfrac{670}{424{,}4} \approx 1{,}58$.
São cerca de 297 g de arroz e 158 g de feijão. Conferindo, $2{,}97 \cdot 128 + 1{,}58 \cdot 76 \approx 500$ e $2{,}97 \cdot 2{,}5 + 1{,}58 \cdot 4{,}8 \approx 15$.
O sistema é a pergunta do passo 2 feita ao contrário. Lá conhecíamos as porções e calculávamos os nutrientes, e aqui conhecemos os nutrientes e procuramos as porções.

Passos 3 e 4 · Giros e espelhos

Com $R$ a rotação de 90° e $S$ a reflexão no eixo $x$, calcule $R^4$ e $SRS$. Explique os dois resultados sem fazer as contas.

Ver resolução

$R^2 = -I$, e $R^4 = (-I)^2 = I$. Quatro giros de 90° somam 360°.
$RS$ $= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$, e $SRS$ $= S(RS)$ $= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$, a rotação de 90° no sentido horário, que é $R^{-1}$.
Sem contas, espelhar o plano, girar no sentido anti-horário e espelhar de volta é girar visto no espelho, e no espelho o sentido do giro se inverte. O det confere, $(-1) \cdot 1 \cdot (-1) = 1$, e o resultado mantém a orientação.

Passos 3 e 5 · Matriz sob medida

Encontre a matriz $A$ que leva $(1, 0)$ em $(2, 1)$ e $(1, 1)$ em $(3, 3)$. Qual é a área da imagem do triângulo de vértices $(0, 0)$, $(1, 0)$ e $(1, 1)$? Que ponto $A$ leva em $(0, 3)$?

Ver resolução

A primeira coluna é a imagem de $(1, 0)$, $(2, 1)$. Como $(1, 1) = (1, 0) + (0, 1)$, a imagem de $(0, 1)$ é $(3, 3) - (2, 1) = (1, 2)$.
$A$ $= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$, com $\det A = 3$.
O triângulo tem área $\frac{1}{2}$, e a imagem tem área $\frac{3}{2}$.
$A^{-1}$ $= \dfrac{1}{3}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$, e $A^{-1}\begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}$ $= \dfrac{1}{3}\begin{bmatrix} -3 \\ 6 \end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$. Conferindo, $A(-1, 2)$ $= (-2 + 2,\ -1 + 4)$ $= (0, 3)$.

Passos 5 e 6 · Sistema com parâmetro

Para que valores de $k$ o sistema $kx + y = 2$, $x + ky = 2$ é SPD, SPI ou SI? Quando for SPD, qual é a solução?

Ver resolução

$\det = k^2 - 1$, que só zera em $k = 1$ e $k = -1$.
Com $k \ne \pm 1$, o sistema é SPD. Por Cramer, $x = \dfrac{2k - 2}{k^2 - 1} = \dfrac{2}{k + 1}$, e pela simetria das equações $y = x$.
Com $k = 1$, as duas equações são $x + y = 2$, e o sistema é SPI.
Com $k = -1$, a primeira é $-x + y = 2$ e a segunda é $x - y = 2$, que pedem $x - y$ igual a $-2$ e a 2 ao mesmo tempo. O sistema é SI.

Passos 6 e 7 · Mistura de cafés

Uma torrefação, num exemplo inventado, vende três cafés a R$ 40, R$ 50 e R$ 70 o quilo e quer montar 10 kg de uma mistura que saia a R$ 52 o quilo, com a mesma quantidade do primeiro e do terceiro café. Quanto entra de cada? E se a exigência fosse ter o dobro do primeiro em relação ao terceiro?

Ver resolução

Com $x$, $y$ e $z$ em kg, $x + y + z = 10$, $40x + 50y + 70z = 520$ e $x - z = 0$.
Escalonando, $L_2 \leftarrow L_2 - 40L_1$ dá $[0\ \ 10\ \ 30 \mid 120]$ e $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ dá $[0\ \ {-1}\ \ {-2} \mid -10]$. Depois $L_3 \leftarrow L_3 + \frac{1}{10}L_2$ dá $[0\ \ 0\ \ 1 \mid 2]$.
$z = 2$, $y = 12 - 3 \cdot 2 = 6$ e $x = 2$. São 2 kg do primeiro, 6 kg do segundo e 2 kg do terceiro, e $80 + 300 + 140 = 520$.
Com $x = 2z$, a mistura de 2 kg do primeiro com 1 kg do terceiro custa $80 + 70 = 150$ reais por 3 kg, os mesmos R$ 50 o quilo do segundo café. Qualquer combinação sai então a R$ 50, e 10 kg nunca custam R$ 520. Com $x - 2z = 0$ na terceira linha, as mesmas operações dão $[0\ \ {-1}\ \ {-3} \mid -10]$ e depois $[0\ \ 0\ \ 0 \mid 2]$, isto é, $0 = 2$. O sistema fica impossível, e o 2 é a diferença de R$ 20 no custo dividida pelos 10 que vieram de $\frac{1}{10}L_2$.

Passos 7 e 8 · Planos com parâmetro

No sistema $x + y + z = 3$, $x + 2y + 3z = 6$, $2x + 3y + az = b$, para que valores de $a$ e $b$ os três planos se encontram num ponto, numa reta ou em lugar nenhum?

Ver resolução

$L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ dá $[0\ \ 1\ \ 2 \mid 3]$, e $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1$ dá $[0\ \ 1\ \ a - 2 \mid b - 6]$.
$L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ dá $[0\ \ 0\ \ a - 4 \mid b - 9]$.
Com $a \ne 4$, há três pivôs e os planos se encontram num único ponto, qualquer que seja $b$.
Com $a = 4$ e $b = 9$, a terceira linha some, e os três planos passam por uma reta, como no livro aberto.
Com $a = 4$ e $b \ne 9$, a terceira linha diz $0 = b - 9 \ne 0$. Nenhum par de planos é paralelo, porque os vetores $(1, 1, 1)$, $(1, 2, 3)$ e $(2, 3, 4)$ não são proporcionais dois a dois, e a figura é o prisma.

Questões no estilo ENEM

Escrevemos as cinco questões abaixo no formato do ENEM, com um texto-base tirado do cotidiano, um comando e cinco alternativas, e cada uma retoma um passo diferente da aula. Mais embaixo listamos questões reais da prova sobre os mesmos temas, que talvez sejam o melhor treino depois destas.

Tabelas e matrizes · Passo 1
O refeitório de uma escola anota o número de refeições servidas em cada turno durante uma semana. Os registros formam a matriz $A = [a_{ij}]$, de ordem 3 × 5, em que $a_{ij}$ é o número de refeições do turno $i$ (1 para manhã, 2 para tarde e 3 para noite) no dia $j$ (de 1 para segunda-feira a 5 para sexta-feira).

$A = \begin{bmatrix} 130 & 135 & 118 & 128 & 110 \\ 95 & 102 & 112 & 98 & 125 \\ 55 & 38 & 52 & 48 & 30 \end{bmatrix}$

Em que dia da semana o refeitório serviu mais refeições?
1. Segunda-feira.
2. Terça-feira.
3. Quarta-feira.
4. Quinta-feira.
5. Sexta-feira.
Ver resolução

Resposta: C.
Cada dia é uma coluna, e o total do dia é a soma da coluna.
Segunda, $130 + 95 + 55 = 280$. Terça, $135 + 102 + 38 = 275$. Quarta, $118 + 112 + 52 = 282$. Quinta, $128 + 98 + 48 = 274$. Sexta, $110 + 125 + 30 = 265$.
A quarta-feira fica na frente da segunda por só 2 refeições, e não tem o maior número em turno nenhum. A terça vence de manhã, a sexta vence à tarde e a segunda vence à noite, e quem olha uma linha só acaba numa dessas três.
A ordem dos índices costuma decidir questões assim. Em $a_{ij}$, o primeiro índice é a linha, aqui o turno, e o segundo é a coluna, o dia.
Produto de matrizes · Passo 2
Uma marcenaria fabrica dois modelos de mesa. O modelo A usa 2 m² de madeira, 12 parafusos e 1 lata de verniz, e o modelo B usa 3 m² de madeira, 20 parafusos e 2 latas de verniz. Duas lojas fizeram pedidos. A loja 1 quer 10 mesas do modelo A e 5 do modelo B, e a loja 2 quer 4 do modelo A e 8 do modelo B. O dono organizou os pedidos e o consumo de material em duas matrizes e as multiplicou.

$P = \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 4 & 8 \end{bmatrix}$ (lojas × modelos) e $M = \begin{bmatrix} 2 & 12 & 1 \\ 3 & 20 & 2 \end{bmatrix}$ (modelos × materiais)

Quantos parafusos são necessários para o pedido da loja 2?
1. 176
2. 208
3. 220
4. 384
5. 428
Ver resolução

Resposta: B.
O número procurado é o elemento da linha 2 e da coluna 2 de $PM$, a linha da loja 2 de $P$ com a coluna dos parafusos de $M$.
$4 \cdot 12 + 8 \cdot 20 = 48 + 160 = 208$.
Os 176 vêm de cruzar os modelos errados, $4 \cdot 20 + 8 \cdot 12$. Os 220 são os parafusos da loja 1, $10 \cdot 12 + 5 \cdot 20$, e os 428 somam as duas lojas. Os 384 multiplicam o total de mesas da loja 2 pela soma dos parafusos dos dois modelos, $(4 + 8)(12 + 20)$, como se cada mesa levasse os parafusos de A e de B.
O produto $MP$ nem existe, porque $M$ tem 3 colunas e $P$ tem 2 linhas, e a ordem das matrizes segue a ordem da pergunta, lojas, depois modelos, depois materiais.
Produto e composição · Passo 4
Um aplicativo de desenho aplica transformações em sequência a cada ponto de uma figura. O usuário pede primeiro uma reflexão no eixo $y$, que leva $(x, y)$ em $(-x, y)$, e depois uma rotação de 90° no sentido anti-horário em torno da origem, que leva $(x, y)$ em $(-y, x)$. Um dos vértices da figura é o ponto $P = (3, 1)$.

Depois das duas transformações, o vértice $P$ fica no ponto
1. $(1, 3)$
2. $(-1, 3)$
3. $(-1, -3)$
4. $(-3, 1)$
5. $(-3, -1)$
Ver resolução

Resposta: C.
A reflexão leva $(3, 1)$ em $(-3, 1)$, e a rotação leva $(-3, 1)$ em $(-1, -3)$.
Com matrizes, a reflexão é $S$ $= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, a rotação é $R$ $= \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$, e a composta é $RS$ $= \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$, com $S$ à direita porque age primeiro. $RS\,(3, 1) = (-1, -3)$.
O ponto $(1, 3)$ sai da ordem trocada, girando antes de refletir. O $(-1, 3)$ é só a rotação, o $(-3, 1)$ é só a reflexão, e o $(-3, -1)$ é um giro de 180°.
As duas ordens dão pontos diferentes, e é por isso que o produto de matrizes, como a composição de funções, depende da ordem.
Sistemas 2 × 2 · Passo 6
Um cinema vendeu 200 ingressos para uma sessão, entre inteiras, a R$ 30,00, e meias-entradas, a R$ 15,00. A bilheteria daquela sessão somou R$ 4650,00.

Quantas meias-entradas foram vendidas?
1. 45
2. 90
3. 100
4. 110
5. 155
Ver resolução

Resposta: B.
Com $i$ inteiras e $m$ meias, $i + m = 200$ e $30i + 15m = 4650$.
Trocando $m = 200 - i$ na segunda, $30i + 3000 - 15i = 4650$, e $15i = 1650$. Daí $i = 110$ e $m = 90$.
Conferindo, $110 \cdot 30 + 90 \cdot 15$ $= 3300 + 1350$ $= 4650$.
O 110 é o número de inteiras, e quem para no meio da conta fica com ele. O 100 supõe metade de cada tipo, o que daria R$ 4500,00, e o 155 divide a bilheteria pelo preço da inteira, $4650 / 30$. O 45 é metade da resposta.
No plano, as duas equações são retas que se cruzam em $(110, 90)$, e o det dos coeficientes, $1 \cdot 15 - 1 \cdot 30 = -15$, garante que o cruzamento é único.
Escalonamento · Passo 7
Num campeonato de futebol, cada vitória vale 3 pontos, cada empate vale 1 ponto e cada derrota não vale ponto. Um time disputou 20 partidas e terminou com 38 pontos, e o número de vitórias foi o dobro do número de derrotas.

Quantos empates esse time teve?
1. 2
2. 6
3. 8
4. 11
5. 12
Ver resolução

Resposta: A.
Com $v$ vitórias, $e$ empates e $d$ derrotas, $v + e + d = 20$, $3v + e = 38$ e $v - 2d = 0$.
Escalonando, $L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1$ dá $-2e - 3d = -22$, e $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ dá $-e - 3d = -20$. Subtraindo a segunda nova da terceira, $e = 2$.
Daí $3d = 18$, $d = 6$ e $v = 12$. Conferindo, $12 + 2 + 6 = 20$ partidas e $36 + 2 = 38$ pontos.
O 6 é o número de derrotas e o 12, o de vitórias. O 8 conta as partidas que o time não venceu, empates e derrotas juntos. O 11 vem de quem esquece as derrotas e resolve só $v + e = 20$ e $3v + e = 38$, com 9 vitórias.
Com três incógnitas, as três informações do texto são todas necessárias, e cada uma vira uma linha da matriz aumentada.

Questões reais do ENEM sobre este tema

As provas e os gabaritos oficiais ficam no site do INEP, onde podemos procurar cada questão pelo ano, pelo dia, pela cor do caderno e pelo número. Nas questões que listamos, o ENEM cobra pouco o cálculo com matrizes e mais a leitura de uma tabela organizada como matriz, e o sistema aparece num problema de equilíbrio.

ENEM 2012, 2º dia, caderno azul, questão 166. A oferta e a demanda de um produto são dadas por duas equações do primeiro grau no preço, e o preço de equilíbrio é o ponto em que as duas retas se cruzam.
ENEM 2012, 2º dia, caderno azul, questão 169. As notas bimestrais de quatro disciplinas formam uma matriz 4 × 4, e precisamos escolher a matriz que, multiplicada por ela, dá as médias anuais.
ENEM 2018, 2º dia, caderno azul, questão 136. Uma matriz 5 × 5 registra as transferências entre cinco bancos, com $a_{ij}$ o valor enviado do banco $i$ ao banco $j$, e a questão pergunta qual banco transferiu mais.
ENEM 2019, 2º dia, caderno azul, questão 144. Os acertos de cinco alunos em testes aplicados nos cinco dias úteis da semana formam uma matriz, e lemos em que dia o teste teve mais acertos.
ENEM 2021, 2º dia, caderno azul, questão 157. Uma matriz 5 × 5 guarda quantas famílias se mudaram de cada região de uma metrópole para cada outra, e uma construtora quer a região que recebeu mais famílias.

Provas e gabaritos do ENEM no site do INEP →

Cola da aula

Matriz de ordem $m \times n$$A = [a_{ij}]$, linha $i$, coluna $j$

Transposta$(A^t)_{ij} = a_{ji}$

Soma e produto por número, na mesma ordem$(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$, $(kA)_{ij} = k\,a_{ij}$

Produto$A_{m \times n} B_{n \times p} = C_{m \times p}$, $c_{ij}$ = linha $i$ · coluna $j$

Ordem do produto$AB \ne BA$ em geral, e $(AB)v = A(Bv)$

Colunas de uma 2 × 2imagens de $(1, 0)$ e de $(0, 1)$

Determinante 2 × 2$\det A = ad - bc$

Área e orientaçãoáreas × $|\det A|$, e $\det A < 0$ espelha

Determinante do produto$\det(AB) = \det A \cdot \det B$

Inversa 2 × 2, com $\det A \ne 0$$A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

Cramer, com $\det A \ne 0$$x = \dfrac{ed - bf}{ad - bc}$, $y = \dfrac{af - ec}{ad - bc}$

Escalonamentotrocar linhas, multiplicar por $k \ne 0$, $L_i \leftarrow L_i - m\,L_j$

Classificação dos sistemas
Tipo	Soluções	Duas retas	Três planos
SPD	uma, e $\det \ne 0$	se cruzam num ponto	se cortam num único ponto
SPI	infinitas, e $\det = 0$	coincidem	passam por uma reta, ou coincidem
SI	nenhuma, e $\det = 0$	paralelas distintas	prisma, ou planos paralelos

Tipo	Soluções	Duas retas	Três planos
SPD	uma, e \(\det \ne 0\)	se cruzam num ponto	se cortam num único ponto
SPI	infinitas, e \(\det = 0\)	coincidem	passam por uma reta, ou coincidem
SI	nenhuma, e \(\det = 0\)	paralelas distintas	prisma, ou planos paralelos