Geometria Analítica

Como dois números marcam um lugar?

Duas retas numeradas que se cruzam em ângulo reto bastam para dar nome a todos os pontos do plano. A horizontal é o eixo \(x\), o das abscissas, a vertical é o eixo \(y\), o das ordenadas, e elas se cruzam na origem \(O = (0;\ 0)\). Cada ponto P recebe um par ordenado \((x;\ y)\), em que \(x\) diz quanto andamos na horizontal a partir da origem e \(y\) quanto andamos na vertical.

A ordem do par importa, e \((2;\ 5)\) e \((5;\ 2)\) são pontos diferentes. Os eixos repartem o plano em quatro quadrantes, numerados no sentido anti-horário a partir daquele em que as duas coordenadas são positivas, e um ponto sobre um eixo não pertence a quadrante nenhum. Escrevemos o par com ponto e vírgula, \((1{,}5;\ 2)\), porque a vírgula já separa os decimais.

Um mapa usa a mesma ideia. A latitude diz quantos graus um lugar está ao norte ou ao sul do equador, e a longitude, quantos graus está a leste ou a oeste do meridiano de Greenwich. Numa região pequena, os paralelos e os meridianos parecem desenhar uma malha quase retangular, e o par (longitude; latitude) funciona como um par de coordenadas. Em regiões grandes a curvatura da Terra pesa, e cada projeção cartográfica deforma o desenho à sua maneira.

Refletir um ponto num eixo é trocar o sinal de uma coordenada, e refletir na origem é trocar o sinal das duas. A reflexão na bissetriz \(y = x\) troca as coordenadas de lugar, como nas isometrias da aula de Geometria Plana.

Qual é a distância entre dois pontos?

Para ir de \(A = (x_A;\ y_A)\) até \(B = (x_B;\ y_B)\) andamos \(\Delta x = x_B - x_A\) na horizontal e \(\Delta y = y_B - y_A\) na vertical. Os dois deslocamentos e o segmento AB formam um triângulo retângulo, com catetos \(|\Delta x|\) e \(|\Delta y|\) e hipotenusa AB.

O teorema de Pitágoras, que a aula de Geometria Plana demonstra, dá então a distância entre os pontos. Os quadrados apagam o sinal das diferenças, e tanto faz medir de A para B ou de B para A. Quando os dois pontos estão na mesma horizontal, a fórmula se reduz a \(|\Delta x|\), e na mesma vertical, a \(|\Delta y|\).

A linha reta não é a única medida que interessa. Num bairro de ruas em malha, quem caminha só pode seguir as ruas, na horizontal e na vertical, e o caminho mais curto mede \(|\Delta x| + |\Delta y|\) quarteirões, por qualquer escada que não dê volta. Essa distância pelas ruas nunca é menor do que a distância em linha reta, e as duas só coincidem quando A e B estão na mesma rua. Para quem anda a pé numa cidade planejada, ela provavelmente descreve o trajeto melhor do que a linha reta.

Onde fica o meio de um segmento?

O ponto médio M de um segmento AB fica a meio caminho nas duas direções ao mesmo tempo, e as suas coordenadas são as médias das coordenadas de A e de B. A sombra de M no eixo \(x\) cai no meio da sombra de AB, e o mesmo acontece no eixo \(y\).

A conta vale para qualquer fração do caminho. O ponto P com \(AP = t \cdot AB\) se obtém somando a A a fração \(t\) do deslocamento de A até B, coordenada por coordenada, o que os triângulos semelhantes desenhados sobre o segmento garantem. Com \(t = 1/2\) voltamos ao ponto médio, e com \(t = 1/3\) chegamos ao ponto que divide AB na razão \(AP : PB = 1 : 2\).

Num triângulo, cada mediana liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. As três medianas se encontram num ponto só, o baricentro G, que tem por coordenadas as médias das coordenadas dos três vértices e fica a dois terços de cada mediana, contados a partir do vértice. Uma placa triangular fina e uniforme se equilibra sobre G na ponta de um lápis, porque G é o centro de massa da placa, como na aula de Estática.

Como se escreve a equação de uma reta?

Ao longo de uma reta não vertical, a razão \(\Delta y / \Delta x\) entre dois pontos quaisquer dá sempre o mesmo número, o coeficiente angular \(m\). Os triângulos de catetos \(\Delta x\) e \(\Delta y\) desenhados sobre a reta são semelhantes, e por isso a razão não depende dos pontos escolhidos. Ele é a tangente do ângulo θ que a reta faz com o eixo \(x\). Quando θ é agudo, essa tangente se lê num desses triângulos, o cateto oposto a θ dividido pelo cateto adjacente, e quando θ é obtuso, \(m\) é negativo, e o mesmo quociente aparece com o sinal trocado.

Um ponto \((x;\ y)\) está na reta que passa por A com inclinação \(m\) quando \(y - y_A = m\,(x - x_A)\). Isolando \(y\), chegamos à equação reduzida \(y = mx + n\), em que \(n\), o coeficiente linear, é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo \(y\). É a reta da aula de Função Afim, com \(m\) no papel de \(a\) e \(n\) no de \(b\), e a conta da reta por dois pontos é a mesma de lá.

A reta vertical escapa dessa forma. Todos os seus pontos têm a mesma abscissa, \(\Delta x\) vale zero, e ela não tem coeficiente angular. A equação geral \(ax + by + c = 0\) dá conta de todas as retas, e a vertical é o caso \(b = 0\). Uma reta vertical não é o gráfico de uma função de \(x\), porque a sua única entrada teria infinitas saídas.

Quando duas retas se cruzam, e onde?

Duas retas do plano se cruzam num único ponto, ou nunca se cruzam, ou são a mesma reta. Os coeficientes angulares decidem entre esses casos. Com \(m_r \ne m_s\) as retas são concorrentes, e com \(m_r = m_s\) elas são paralelas, distintas quando os coeficientes lineares diferem e coincidentes quando também eles são iguais.

O ponto comum de duas concorrentes satisfaz as duas equações ao mesmo tempo, e achá-lo é resolver um sistema de duas equações do 1º grau. Cada equação é uma reta e a solução é o cruzamento. Um sistema sem solução corresponde a duas paralelas, e um com infinitas soluções, a duas retas coincidentes.

Entre as concorrentes, as perpendiculares têm uma assinatura simples. Girar o triângulo de catetos \(\Delta x\) e \(\Delta y\) de 90° troca os catetos de lugar e o sinal de um deles, e a inclinação \(\Delta y / \Delta x\) vira \(-\Delta x / \Delta y\). Quando nenhuma das retas é vertical, elas são perpendiculares exatamente quando \(m_r \cdot m_s = -1\).

Quão longe fica um ponto de uma reta?

A distância de um ponto P a uma reta r é o comprimento do menor segmento que liga P a um ponto da reta. O menor deles é o perpendicular, PH, porque qualquer outro segmento PQ é a hipotenusa do triângulo retângulo PHQ e mede mais que o cateto PH. Quem mora ao lado de uma estrada reta chega mais depressa a ela pelo caminho que a encontra em ângulo reto.

Com r na forma geral, a distância sai de uma fórmula só, sem que precisemos achar H. O numerador é o valor que P dá na equação da reta, em módulo, e ele se anula exatamente nos pontos da reta. O denominador acerta a escala, já que multiplicar a equação inteira por um número não muda a reta e não pode mudar a distância.

A distância a uma reta é também a altura de um triângulo. Tomando AB como base e a distância de P à reta AB como altura, a área de ABP é metade do módulo de um determinante montado com as coordenadas dos três pontos. Esse determinante se anula quando A, B e P estão alinhados, o que dá um teste de alinhamento de uma conta só.

Que equação descreve uma circunferência?

A circunferência de centro \(C = (a;\ b)\) e raio \(r\) é o conjunto dos pontos do plano que estão à distância \(r\) de C. A fórmula da distância do passo 2, elevada ao quadrado, transforma essa definição numa equação, a equação reduzida, na qual o centro e o raio se leem diretamente.

Desenvolvendo os quadrados, chegamos à equação geral, com \(x^2\) e \(y^2\) de coeficiente 1 e sem termo em \(xy\). O caminho de volta é completar quadrados, e nem sempre ele termina numa circunferência. Quando o número que faria o papel de \(r^2\) dá zero, a equação descreve um único ponto, e quando dá negativo, nenhum.

Com uma desigualdade no lugar da igualdade, a equação passa a repartir o plano, com os pontos de \((x - a)^2 + (y - b)^2 < r^2\) dentro e os de \((x - a)^2 + (y - b)^2 > r^2\) fora. Uma antena que alcançasse \(r\) quilômetros em todas as direções cobriria o disco, e uma casa receberia o sinal dentro dele ou na borda. O modelo é ilustrativo, porque o relevo e os prédios provavelmente deformam o alcance de uma antena real.

A circunferência não é o gráfico de uma função de \(x\). Uma reta vertical entre as abscissas \(a - r\) e \(a + r\) a corta duas vezes, e o teste da reta vertical da aula de Funções reprova a curva. Resolvendo para \(y\), cada semicircunferência, a de cima e a de baixo, é o gráfico de uma função.

Quantos pontos uma reta e uma circunferência têm em comum?

Uma reta e uma circunferência têm dois pontos em comum, um ou nenhum. A reta é secante no primeiro caso, tangente no segundo e exterior no terceiro, e quem decide é a distância \(d\) do centro à reta, comparada com o raio. Com \(d < r\) a reta entra no disco, com \(d = r\) ela só encosta, e com \(d > r\) passa por fora.

A álgebra conta a mesma história. Pondo \(y = mx + n\) na equação da circunferência, chegamos a uma equação do 2º grau em \(x\), e o sinal do discriminante Δ, o mesmo da aula de Função Quadrática, diz quantas soluções ela tem. Δ positivo dá duas abscissas e dois pontos comuns, Δ nulo dá um ponto só, e Δ negativo, nenhum.

A tangente tem uma propriedade a mais. O raio que chega ao ponto de tangência T é perpendicular a ela, porque T é o ponto da reta mais próximo do centro, o pé da perpendicular do passo 6. Para traçar a tangente num ponto T da circunferência, basta tomar a reta que passa por T perpendicular ao raio CT.